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13 mai 2008 2 13 /05 /mai /2008 11:13

Pour une approche rationaliste du hasard

(2ème partie)


lire la 1ère partie : Le coquin de hasard n’a rien à voir avec le destin (1)



 

Quoi de plus simple que les jeux de hasard tels que le lancer de pièces, le jeté de dés, tirer des cartes dans jeu de 52 cartes distinctes etc… Prenons le premier : l’épreuve  élémentaire (lancer une fois la pièce) donne deux résultats (évènements)  possibles : Pile ou face.  Dans le deuxième, six résultats possibles, l’une des 6 faces numérotées de 1 à 6 pour un dé classique. Dans le troisième, l’une des 52 cartes.

Intuitivement, on comprend que dans des conditions « normales » ( définies ci-dessous) la  probabilité d’obtenir pile plutôt que face est de 1 sur 2 (ou 0,5 ou 50%), d’obtenir 1 face du dé plutôt qu’une des cinq autres est de 1 sur 6 etc…

Même lorsque l’on passe de l’épreuve élémentaire de tels jeux de hasard à plusieurs épreuves répétées, l’ensemble des évènements possibles est fini et prédictible, et les probabilités qui leur sont assorties parfaitement calculables.


Passons de 1 à 2 lancers successifs de pièce , et nous obtenons l’ensemble des évènements possibles :

-Pile Pile

-Pile Face

-Face Pile

-Face Face

Passer de 2 à 3, puis à 4,5,10, 100 lancers successifs ne pose aucun problème. 

 

Le hasard qui nous entoure dans la vie réelle recouvre des aspects beaucoup plus complexes : impossible de cerner , même dans une vie des plus routinières, l’ensemble des évènements possibles qui peuvent arriver à un moment  donné. « Je me lève, je bois bon café, je ne te réveille pas, comme d’habitude…. ». Mais ce jour là, le réveil ne sonne pas. Ou quand je sors, la voiture ne démarre pas, alors je te réveille pour que tu m’emmènes au boulot . Où j’apprends un plan de licenciement alors je ne rentre pas ce soir. Ou alors allez savoir pourquoi, je rentre plus tôt alors que tu es encore couchée, et je trouve un homme nu dans l’armoire. Un événement certes a priori envisageable, mais dont il est en général assez difficile de calculer la probabilité exacte…

 

Alors pourquoi appréhende-t-on le hasard à travers ces modèles réductionnistes de lancer de pièce ou de lancer de dés ? Signalons  que maîtriser cette approche élémentaire du hasard sous forme d’épreuves répétitives dont les résultats possibles sont connus d’avance nécessite déjà un  bagage mathématique minimum et de manier des opérations qui dépassent très vite nos possibilités de calcul mental. Ensuite,  simplicité n’est pas synonyme de simplisme, et que l’exploration du hasard par ces voies simples est extrêmement féconde, d’une portée universelle, et permet d’éviter de nombreux biais de raisonnements très répandus.

 

 

Le hasard « choisit » une combinaison parmi toutes les combinaisons possibles

 

 Avant de se pencher sur les probabilités de réalisation d'un évènement au cours d'un "tirage", il convient de se rappeler que le hasard est la réalisation d'un évènement donné parmi tous les évènements possibles. Tout calcul de probabilité commence donc par le dénombrement des évènements ou combinaisons réalisables.

-Au jeu de pile ou face (P ou F) :

1 tirage  donne  P ou F soit 2 évènements possibles

2 tirages successifs donnent PP ou  PF ou FP ou FF soient 4 évènements possibles

3 tirages donnent PPP ou PPF ou PFP ou PFF ou FPP ou FPF ou FFP ou FFF, soit 8 évènements ou combinaisons possibles.

 

Généralisation : n tirages donnent 2n  combinaisons possibles, c’est-à-dire le nombre 2 multiplié n fois par lui-même. En généralisant, tout jeu de hasard qui offre p  combinaisons pour une épreuve élémentaire donnent pn combinaisons possibles pour n épreuves successives.

Application : 10 lancers de pièces successifs donnent 210 soit 1024 combinaisons possibles. 4 lancers de dés successifs donnent 64 soit 1296 combinaisons possibles.    

 

Le calcul des combinaisons diffère selon que l’on tient compte ou non de l’ordre des résultats obtenus.

Ainsi , pour une épreuve consistant à lancer 10 fois de suite, je peux considérer chacune des 1024 combinaisons ordonnées (ex :PPFPFPFFPP) comme un événement unique, ou bien considérer comme des succès la réalisation des évènements ne faisant intervenir l’ordre des tirages tels que : obtenir 5 fois Pile (donc 5 fois Face) . Or dans ce cas, il n’y a pas une, mais 252 combinaisons parmi les 1024 possibles qui correspondent à l’événement obtenir 5 fois pile. 

 

Le vertige du hasard dans un jeu de 52 cartes :

 

Nous venons de voir que quelques lancers de pièces ou de dés aboutissent à un nombre de combinaisons possibles dépassant 1000. Qu’en est-il des mains possibles dans un jeu de cartes qui se joue à 52 ?

Une main correspond à un groupe de 13 cartes (tirées sans remise) placée dans un ordre quelconque et choisie parmi 52.Si on veut, on peut considérer que nous avons un jeu divisé en une main de 13 cartes et une autre 52-13=39 cartes.

 

Le nombre de mains possibles est égal à  C5213  ce qui vaut = 52!

                                                                                  13 ! 39 !

Avec 52! (« factorielle ») =52x51x50x49x……..x2x1

        13! =13x12x11x…..x2x1                                                              (1)

Le nombre de mains possibles est de 635 013 559 600 , plus de 635 milliards de possibilités.

Mais ça n’est pas tout. Considérons maintenant le nombre de donnes possibles lorsque le jeu est distribué en 4 mains de 13 cartes.

Ce qui correspond à                    52 !

                                        13! 13! 13! 13!

Soit environ 54 000 000 000 000 000 000 000 000 000                 (2)

54 milliards de milliards de milliards de donnes possibles !

 

 

On comprend mieux pourquoi des passionnés continuent à s’enfermer des heures ou des nuits entières plusieurs fois par semaine pour jouer au bridge à la belote ou au tarot (3). La routine n’est pas pour demain  et des millions de joueurs peuvent continuer à jouer pendant des siècles et des millénaires avant d’avoir épuisé toutes les donnes possibles d’un jeu de cartes.

 

Des combinaisons aux probabilités :

La notion élémentaire de probabilité est très intuitive : c’est le rapport entre le nombre de cas  favorables et le nombre de cas possibles dans une épreuve. Pour un seul lancer de pièce, il y a 2 cas possible = Pile ou Face. Si j’ai misé sur Pile, il y a un cas favorable sur 2 possibles soit une probabilité de 1/5 ou 0,5 ou 50 pour 100 de chances. Lorsqu’on passe à des tirages répétitifs, la probabilité  est le rapport entre le nombre de combinaisons favorables et le nombre de combinaisons possibles. Les remarques sur l’ordre des combinaisons s’appliquent ici. Si je considère l’événement obtenir la combinaison exacte PPFPFPFFPP, la probabilité de succès est de 1/1024 =environ 0,098%. Par contre , si je considère simplement l’événement obtenir 5 fois pile en 10 lancers  ,la probabilité de succès est de 252/1024 =environ 24,6%.

 

 

 

Généralisation : - Pour un jeu  répétant n fois la même épreuve élémentaire comportant p cas possibles, la probabilité d’obtenir 1 combinaison ordonnée plutôt qu’une autre est : 1

                                      pn

                          - Pour le même jeu, la probabilité d’obtenir un événement tel que « k fois pile sur n tirages successifs » sans ordre particulier dont chacun offre p possibilités est :

Cnk (1/p)k (1-1/p)n-k  ,avec Cnk  =      n!

                                                     K!(n-k)!

Application :Ainsi , la probabilité d’obtenir la combinaison PPFPFPFFPP , une façon particulière d’avoir 5 fois Pile sur dix lancers de pièces est de 1/210 = 1/1024

La probabilité d’obtenir d’une façon ou d’une autre 5 Pile est de :

10!  X (½)5 x (½)5 = 3 628 800 x (0,5)5 x(0,5)5 = 0,246098.…

5! 5 !                         120x120

Soit environ 24,6%.

 

 Le hasard et les probabilités , au-delà de l’intuition

 

 Nous avons donné une définition intuitive de la probabilité, supposant vrai le fait d’avoir une chance sur 2 d’obtenir pile (ou face) lors de chaque lancer de pièce. Est-ce justifié ?

Oui si on amène deux précisions :

1/ Sur le caractère aléatoire de l’épreuve : c’est le caractère incontrôlé du lancer de pièce qui lui donne le statut de tirage au hasard. L’absence de contrôle du geste, de l’impulsion donnée à la pièce.

2/ la probabilité de l’épreuve élémentaire est dans ce cas lié à une propriété intrinsèque de la pièce. Si celle-ci n’est pas « truquée » , comporte bien deux côtés marqués distinctement « Pile » et « Face », est correctement usinée, de densité homogène,alors la probabilité d’obtenir doit logiquement être de ½ (0,5), le hasard n’ayant aucune raison de privilégier un côté plutôt que l’autre.

On peut très bien imaginer que la pièce soit légèrement déformée, telle que les probabilités d’obtenir Pile ou Face soient respectivement 0,6 et 0,4. Le fait que les résultats de l’épreuve ne soient pas équiprobables modifient la valeur des probabilités, mais l’approche du hasard n’est pas modifiée. Le hasard se conformera aux propriétés intrinsèques de cette pièce particulière et se « calera » sur les probabilités élémentaires qui en résultent.

Avec de telles probabilités élémentaires, la probabilité d’obtenir 5 fois Pile (et donc 5 Face) sur 10 lancers devient :                

10!  X (0,6)5 x (0,4)5 = 0,2007... Soit environ 20%.

5! 5 !    

 

                   

Petite colle : Comment se fait-il alors que la probabilité d’obtenir 1 fois pile est supérieure (0,6 au lieu de 0,5), nous obtenions seulement 20% de chances d’obtenir 5 fois pile, contre 24,6% dans le cas de l’équiprobabilité (4)?

 

 

Quelques erreurs récurrentes sur le hasard :

-1/En lançant la même pièce dix fois, quelle combinaison parmi ces 2 à la plus grande chance de sortir ?

      La combinaison 1 : PPFPFPFFPP ?

Ou

      La combinaison 2 : PPPPPPPPPP ?

La majorité des gens répondront spontanément la combinaison 1 et on comprend très facilement pourquoi ce (mauvais) réflexe. La combinaison 1 comporte dans un ordre a priori quelconque autant de Pile que de Face (ce qui semble bien coller avec la probabilité de 1 sur 2 (5)). La combinaison 2 comporte 10 Pile un résultat o’ combien improbable (1 chance sur 1024)!

Or les gens confondent la probabilité élevée d’obtenir 5 Pile sur 10 lancers, et la probabilité d’obtenir précisément l’une des 252 combinaisons qui comporte 5 Pile , qui vaut également 1 chance sur 1024 .

 Les deux combinaisons ont une probabilité strictement égale . 

 

-2/ « Je vais me refaire » : tel est le vice de raisonnement du joueur invétéré, qui jouant de malchance, pense que celle-ci va se retourner. Imaginons un parieur qui joue à Pile ou Face, a misé 10 fois Pile, et comble de malchance, a perdu dix fois de suite. Un événement certes  rare (en moyenne 1 parieur sur 1024 subit cette « poisse ») mais somme toute pas exceptionnel. La tentation est forte d’imaginer que le 11ème tirage sera effectivement Pile. Et de miser une somme encore plus élevée pour se refaire des sommes perdues au cours des dix premiers tirages. Un biais de raisonnement tragique qui conduit à miser des sommes qu’on n’aurait peut-être jamais engagées auparavant.

Car le hasard n’a pas de mémoire, il est donc totalement dépourvu de d’instinct de justice ou de sentiment de culpabilité  qui l’amènerait à corriger ses « malfaisances » passées. Qu’il vous ait fait perdre 1 fois, 2 fois, 10 fois ou 100 fois de suite , il se moque absolument des propensions du joueur à le personnifier et à lui attribuer une conscience. Au onzième lancer de pièces, sa « politique » reste élémentaire ,transparente et dépourvue de toute malice : C’est encore et toujours une chance sur 2 d’obtenir l’une des deux faces , quelques soient les résultats antérieurs.

 

3/ le hasard ne reconnaît pas nos symboles :

Peu de parieurs du Loto miseront sur la combinaison suivante : 1 2 3 4 5 6.  Vous pensez, 6 chiffres qui se suivent ! Ca a l’apparence de la rationalité, et pourtant ça ne l’est pas . Pour la même raison que 1/, cette combinaison a autant de chances de sortir que 5 11 17 29 40 45 ou que n’importe quelle autre combinaison quelconque (6) :

En laissant de côté le numéro complémentaire, le nombre de manières de tirer 6 numéros dans un ordre quelconque est C496 =   49 !                       

                                                   6 ! 43 !

soit exactement 13 983 816 combinaisons.

 

L’erreur fatale consiste à attribuer au hasard la capacité de reconnaître derrière nos symboles numériques une suite ou un quelconque assortiment qui pour nous a du sens. Ca n’est pas le cas. Le hasard du loto, ce sont des forces mécaniques produites par la rotation de la sphère contenant les 49 boules et qui provoquent l’expulsion successive de 6 boules hors de celle-ci. Du point de vue des forces à l’œuvre, les 49 boules qui ont le même poids, la même taille, la même surface, sont strictement identiques, quelque soit la valeur nominale inscrite dessus qui n’ont de signification que pour l’esprit humain.

 

A l’opposé, beaucoup de joueurs pensent forcer le hasard en jouant des nombres fétiches, des dates de naissance par exemple : dans cette optique purement superstitieuse, le hasard ne se contenterait pas d’attribuer un sens à nos symboles, mais serait capable de bienveillance sélective. Celui qui pense forcer la chance en jouant sa date de naissance 20-06-42 devrait admettre que tous ceux nés après (19)49 sont maudits ! Le hasard n’aime donc pas les « jeunes » en tout cas lorsqu’ils jouent au Loto. Ceux-ci peuvent toutefois se rattraper au Keno, à condition qu’ils soient nés avant (19)81.

Si vos numéros fétiches ne sortent pas, vous n’aurez aucun mal à trouver des charlatans qui sauront deviner pour vous les numéros porte-bonheur, en relation avec votre signe et la conjonction astrale du moment . Comble de l’absurdité, pour le même tirage offrant une et une seule combinaison gagnante, des dizaines de joueur inspirés par le même astrologue joueront des numéros différents censés leur offrir une chance personnalisée de déjouer ce coquin de hasard .

Vous vous délesterez de quelques dizaines d’euros supplémentaires en plus de vos mises, mais si ça peut vous rassurer, sans risque de mettre sur la paille la Française des Jeux .

Anton Suwalki

                                                                       (à suivre)

 

Notes :

(1) donc 1!=1 et par convention 0!=1

(2) on écrira plus volontiers 54 .1027

(3) dont je laisse à nos amis lecteurs le soin de calculer le nombre de donnes possibles pour la belote ou le tarot.

(4) laissons à nos lecteurs le soin de répondre, sinon nous fournirons la solution au prochain épisode.

(5) dans ce paragraphe, nous raisonnons uniquement dans le cadre de l’équiprobabilité (ex : une chance sur 2 d’obtenir Pile et pareil pour face). Ce qui ne change rien au message mais simplifie l’exposé

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commentaires

Clovis Simard 14/06/2012 00:06


Blog(fermaton.over-blog.com),No-7. -CASINOS-PSYCHOHISTOIRE.  Du hasard ?